Naviguer dans le disque de Poincaré

Dans un article intitulé « Poincaré et son disque » consultable sur le site de l’ENS de Lyon (http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/disque-poincare.pdf, 2005), Etienne Ghys propose une « promenade », pour reprendre ses termes, autour du disque de Poincaré. Cette promenade commence avec une expérience de pensée réalisée à la suite d’Henri Poincaré, puis continue avec quelques formules. De ces formules, j’en retiens une :

On note D=\left\{z\in \mathbb{C} | |z|<1\right\} le disque unité ouvert dans le plan complexe. Si v est un vecteur tangent à D en un point z, de norme euclidienne |v|_{\mathit{eucl}}, sa norme hyperbolique |v|_{\mathit{hyp}} est définie par |v|_{\mathit{hyp}}=\frac 1{1-|z|^2}|v|_{\mathit{eucl}}.

Je retiens celle-ci, car c’est celle que je vais utiliser dorénavant pour caractériser la décroissance dans mes différentes tentatives de construction d’un espace hyperbolique virtuel « navigable ».

Deux tentatives, respectivement sur Scratch et Alice3, seront mises en ligne prochainement. Dans ces tentatives, je reprendrai le modèle sur Alice3 déjà en ligne, en modifiant seulement la formule de décroissance. Sur Scratch, le programme permettra simplement de faire évoluer un sprite sur un disque de Poincaré.

J’espère pouvoir rendre la navigation plus réaliste en fabriquant une sorte d’essieu, dont les deux roues auront des tailles différentes du fait de leur position différente sur le disque. Cette différence de taille entre les roues devrait induire une sorte d’effet Coriolis sur la trajectoire de l’essieu, dont j’espère qu’elle ressemblera aux droites du disque qui nous apparaissent de l’extérieur comme des courbes.

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