Vol « rectiligne » sur un disque de Poincaré

Le programme Scratch suivant simule le vol « rectiligne » d’un mobile sur un disque de Poincaré. Le calcul de la trajectoire se fait mécaniquement par la différence de vitesse entre les deux extrémités de « l’avion ». Chaque extrémité calcul sa propre vitesse en fonction de sa position sur le disque, et selon le rapport {1-|z|^2} . C’est un peu du bricolage artisanal, mais ça donne un résultat qui est proche de ce qu’on obtient par le calcul direct de la trajectoire d’une « droite » sur le disque de Poincaré. On peut néanmoins constater à l’œil nu un décalage ; je pense qu’il est dû en particulier à la discrétisation du calcul avec un échantillonnage très faible (seules les deux extrémités sont prises en compte) et à une sorte d’escroquerie sur la vitesse des extrémités : seules la composante dans l’axe de l’aéronef est calculée en fonction de la position sur le disque, l’autre composante étant « bidouillée » par un rapprochement sauvage vers l’extrémité de l’aile.

Il est consultable à l’adresse suivante : http://scratch.mit.edu/projects/48707012/

La position de départ sur le disque est choisie par l’utilisateur : il faut entrer les coordonnées x et y de départ lorsqu’elles sont demandées. Le programme ne calcule pas si la position de départ est bien dans le disque : c’est à l’utilisateur de s’en assurer (!).

Deux petites captures d’écran :

navigation rectiligne 1 navigation rectiligne 2

La prochaine étape est la simulation d’un véhicule pilotable en contrôlant sa vitesse et sa direction avec les flèches du clavier, et dont la trajectoire sera calculée de cette façon.

Bonne navigation !

Publié dans Géométrie non euclidienne | Marqué avec , , , , , , | Laisser un commentaire

Navigation sur un disque de Poincaré : simulations Scratch et Alice3

Voici trois programmes simulants un déplacement sur un disque de Poincaré. Pour l’instant, seulement le changement de taille est géré pour les véhicules, mais le but est que le déplacement lui-même suive les droites d’un disque de Poincaré (qui apparaissent courbes vues de l’extérieur).

Premier programme sur Scratch, utilisable directement sur le site, permettant de déplacer un sprite en utilisant les flèches de direction : http://scratch.mit.edu/projects/46430726/

Deuxième programme sur Scratch, utilisable aussi directement sur le site, permettant de déplacer un véhicule à la manière d’un jeu de course : http://scratch.mit.edu/projects/46434254/

Captures d’écran :

Scratch-Poincare1        Scratch-Poincare2

Continuer la lecture

Publié dans Géométrie non euclidienne | Marqué avec , , , , , , , | Laisser un commentaire

Naviguer dans le disque de Poincaré

Dans un article intitulé « Poincaré et son disque » consultable sur le site de l’ENS de Lyon (http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/disque-poincare.pdf, 2005), Etienne Ghys propose une « promenade », pour reprendre ses termes, autour du disque de Poincaré. Cette promenade commence avec une expérience de pensée réalisée à la suite d’Henri Poincaré, puis continue avec quelques formules. De ces formules, j’en retiens une :

On note D=\left\{z\in \mathbb{C} | |z|<1\right\} le disque unité ouvert dans le plan complexe. Si v est un vecteur tangent à D en un point z, de norme euclidienne |v|_{\mathit{eucl}}, sa norme hyperbolique |v|_{\mathit{hyp}} est définie par |v|_{\mathit{hyp}}=\frac 1{1-|z|^2}|v|_{\mathit{eucl}}.

Je retiens celle-ci, car c’est celle que je vais utiliser dorénavant pour caractériser la décroissance dans mes différentes tentatives de construction d’un espace hyperbolique virtuel « navigable ». Continuer la lecture

Publié dans Géométrie non euclidienne | Marqué avec , , , , , , , | Laisser un commentaire

Premier projet modeste de conception d’un monde virtuel « hyperbolique » navigable.

J’ai réalisé ma première tentative de programmation d’un univers « hyperbolique » à l’aide du logiciel Alice3. Ce logiciel permet de programmer facilement, sans besoin de connaissance particulière en programmation (ce qui m’arrange bien, dans la mesure où je ne suis pas un spécialiste !!). Vous pouvez télécharger ce logiciel sur http://www.alice.org/ . Voici trois fichiers qui modélisent un tel environnement. Continuer la lecture

Publié dans Géométrie non euclidienne | Marqué avec , , , , , , | Laisser un commentaire