Calcul différentiel de la déviation d’un mobile sur un disque de Poincaré.

Suite au dernier projet Scratch permettant de dévier un mobile sur un disque de Poincaré par l’influence de deux mobiles situés sur les flans du premier, j’ai réitéré l’expérience avec un mobile de taille différente, et donc un écartement différent des mobiles situés aux extrémités (http://scratch.mit.edu/projects/49909842/). Comme on pouvait le supposer intuitivement (ou comme certains le savent sans doute déjà!!), cet écartement n’a aucune influence sur la déviation. J’ai donc cherché à formaliser cette déviation par un calcul différentiel.
Comme le but de ce calcul était de pouvoir utiliser le résultat dans Scratch (et que ça fait longtemps que je n’ai pas fait de math sérieusement!), les conventions habituelles seront peut-être parfois perturbées : je vous prie de m’en pardonner.

J’obtiens et j’utilise cette formule : \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = 2|\vec V|_{\mathit{eucl}}|z|\sin{(\theta - \theta_V)}

z est l’affixe de la position du solide, \displaystyle\theta sont argument et \theta_V l’angle du vecteur vitesse \displaystyle\vec V du solide.
La mise en œuvre de cette équation différentielle est visualisable sur le projet Scratch suivant, sans avoir besoin de la résoudre : http://scratch.mit.edu/projects/49907478/
Je devrais pouvoir la mettre en œuvre dans Alice3 et Garry’s Mod sans avoir besoin de la résoudre. Cependant, j’essaierai tout de même de la résoudre (sauf si un étudiant en mathématiques souhaite le faire pour moi à titre d’entraînement ^^).

Voici donc une démonstration de la formule utilisée (merci de me prévenir si vous voyez une erreur!!!) : Les calculs suivants sont valables sur le disque unité ouvert (c’est-à-dire que les coordonnées complexes des points appartiennent à l’ensemble \left\{z\in \mathbb{C}\ |\ |z|<1\right\}). Je prends donc une sorte de véhicule comme utilisé dans les programmes Scratch précédents, et je considère les vitesses \vec{V_{1}} et \vec{V_{2}} de chacune des extrémités du véhicule, appelées respectivement G_{1} et G_{2}. Soit \vec{V} la vitesse du centre de gravité G du système (au milieu du système…). Soit d la distance entre G_{1} et G_{1}. Soient \theta_{1}, \theta_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2} les angles tels que définis sur le schéma suivant :

Schéma 1

On note \vec{n_{V}} le vecteur normal à \vec{V}. Soient z, z_{1} et z_{2} les coordonnées complexes respectives de G, z_{1} et z_{2}.
Je pars de la formule utilisée dans le document de Monsieur Etienne Ghys :

Si v est un vecteur tangent à D en un point z, de norme euclidienne |v|_{\mathit{eucl}}, sa norme hyperbolique |v|_{\mathit{hyp}} est définie par \displaystyle|v|_{\mathit{hyp}}=\frac 1{1-|z|^2}|v|_{\mathit{eucl}}

Or, ma vitesse lorsque je suis immergé dans le disque de Poincaré est justement le |v|_{\mathit{hyp}} défini dans la citation précédente.
J’en déduis que :
(1)          \displaystyle|v|_{\mathit{hyp}} = (1-|z|^2)|v|_{\mathit{eucl}}
Ainsi :
(2)          |V|_{\mathit{hyp}} = (1-|z|^2)|V|_{\mathit{eucl}}
(3)          |V_{1}|_{\mathit{hyp}} = (1-|z_{1}|^2)|V_{1}|_{\mathit{eucl}}
(4)          |V_{2}|_{\mathit{hyp}} = (1-|z_{2}|^2)|V_{2}|_{\mathit{eucl}}

J’appelle \theta l’argument de z.

Schéma 2

Si je considère que la déviation \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} est seulement le fruit de la différence de vitesse entre les extrémités, j’obtiens que :
(5)          \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = \frac{|V_{1}|_{\mathit{hyp}} - |V_{2}|_{\mathit{hyp}}}{d} D’où :
(6)          \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = \frac{|V_{1}|_{\mathit{eucl}}(1-|z_{1}|^2) - |V_{2}|_{\mathit{eucl}}(1-|z_{2}|^2)}{d}
Comme la vitesse « euclidienne » des deux points G_{1} et G_{2} est la même (il n’y a pas de différence de vitesse induite par l’espace euclidien), et qu’elle est égale à celle de G :
(7)          |V_{1}|_{\mathit{eucl}} = |V_{2}|_{\mathit{eucl}} = |V|_{\mathit{eucl}}
On a donc :
(8)          \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = \frac{|V|_{\mathit{eucl}}(|z_{2}|^2-|z_{1}|^2)}{d}
Or, dans le triangle OGG_{1} :
(9)          \displaystyle|z_{1}| = (\frac{d}{2})^2 + |z|^2 - 2\frac{d|z|}{2}\cos{\varphi_1}
De même, dans le triangle OGG_{2} :
(10)          \displaystyle|z_{2}| = (\frac{d}{2})^2 + |z|^2 - 2\frac{d|z|}{2}\cos{\varphi_2}
D’où :
(11)     \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = \frac{|V|_{\mathit{eucl}}((\frac{d}{2})^2 + |z|^2 - 2\frac{d}{2}|z|\cos{\varphi_2} - (\frac{d}{2})^2 - |z|^2 + 2\frac{d}{2}|z|\cos{\varphi_1})}{d}
En simplifiant, on obtient :
(12)          \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = |V|_{\mathit{eucl}}|z|(\cos{\varphi_1} - \cos{\varphi_2})

Or \varphi_2 = \pi - \varphi_2, d’où :
(13)          \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = |V|_{\mathit{eucl}}|z|(\cos{\varphi_1} - \cos{(\pi - \varphi_1)})
(14)          \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = |V|_{\mathit{eucl}}|z|(\cos{\varphi_1} + \cos{\varphi_1})
(15)          \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = 2|V|_{\mathit{eucl}}|z|\cos{\varphi_1}
Or, par construction, \displaystyle\theta_V + \frac{\pi}{2} = \theta + \varphi_1

Schéma 3

D’où :
(16)          \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = 2|V|_{\mathit{eucl}}|z|\cos{(\theta_V + \frac{\pi}{2} - \theta)}
D’où finalement :
(17)          \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = 2|V|_{\mathit{eucl}}|z|\sin{(\theta - \theta_V)}

En arrivant à ce résultat, j’ai vraiment la sensation que j’aurais pu y arriver beaucoup plus rapidement, en prenant le problème d’une autre manière… Si quelqu’un voit comment faire, je suis ouvert à la critique. De même, si quelqu’un trouve une erreur, je le prie de bien vouloir me le dire.

Mise à jour du 01/04/15 : il y avait une erreur grossière ! La déviation est celle du vecteur vitesse, donc c’est \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} qui est étudié, non \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}.

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