Simulation d’un système de deux points sur un disque de Poincaré

Voici une simulation sur Scratch d’un système de deux points dans un disque de Poincaré. Il est particulièrement intéressant de constater que, lorsque ce système se déplace en ligne droite, alors la trajectoire censée être rectiligne est… Une portion de cercle ! Continuer la lecture

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Et si l’espace des nombres était aussi hyperbolique ?

    L’infini mathématique est parfois l’idée que l’ « on peut toujours trouver un nombre plus grand ». Ce qui pose problème est précisément l’emploi du verbe « pouvoir » en mathématiques ; il est en effet étrange de dire que l’on peut ou que l’on ne peut pas faire quelque chose en mathématiques : soit c’est vrai, soit c’est faux, mais ce n’est jamais « possible », ou alors c’est une hypothèse ou une conjecture. Or là, il s’agit d’une définition, ce qui pose problème. Continuer la lecture

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Ebauche de monde hyperbolique avec Unity

Dans l’article sur le jeu « A Slower Speed of Light », j’écrivais que ce jeu est programmé avec le moteur Unity. Or l’équipe du MIT qui a programmé ce jeu met à disposition du grand public l’ensemble de leur projet, qui est donc utilisable avec Unity.

Pour me faire la main sur Unity, j’ai programmé une ébauche d’espace hyperbolique, du même genre que celui réalisé avec Alice et Scratch. Mais l’idée, à terme, est d’utiliser le travail réalisé par l’équipe de « A Slower Speed of Light » pour créer un environnement hyperbolique. On trouve ce travail sur internet sous le nom de « OpenRelativity » (http://openrelativity.net). Le moteur Unity est téléchargeable gratuitement à l’adresse https://unity3d.com.

Mon travail est téléchargeable sur GitHub à l’adresse https://github.com/julienbusset/HyperbolicWorld-on-Unity.

Vous pouvez tester une première version compilée (Mac, Linux, Windows et Web player) téléchargeable sur mon Google Drive.

Projet Hyperbolic World sur Unity

Projet Hyperbolic World sur Unity

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Géométrie existentielle ?

Nous avons l’habitude de dire que l’espace dans lequel nous vivons est euclidien : en particulier, deux droites à angle droit d’une même droite ne se coupent jamais (ce qui correspond au 5ème postulat d’Euclide). Cela semble totalement anodin et évident. D’ailleurs, la plupart de nos travaux dans le plan et dans l’espace respectent cette condition ; le dessin d’architecture et le dessin industriel sont tous deux réalisés sur un plan qui respecte cette condition ; tous les cours de géométrie de l’enseignement général en France respectent cette condition ; le dessin artistique en perspective, si répandu, respecte cette condition ; les mathématiques de l’analyse et des statistiques utilisent habituellement des graphiques (courbe représentative d’une fonction, diagrammes) qui respectent cette condition. Pourtant, dans l’expérience commune de la vie, nous ne rencontrons jamais deux droites dites parallèles qui ne se coupent jamais, ne serait-ce que parce que nous ne pouvons pas le vérifier.

Nous pouvons ainsi émettre l’hypothèse que l’espace que nous vivons n’est pas euclidien, contrairement à celui que nous nous représentons, et nous poser la question de la géométrie de cet(ces) espace(s). Continuer la lecture

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A slower speed of light

Le MIT a adapté un environnement de développement de jeu open-source, OpenRelativity, pour développer un jeu, A Slower Speed of Light, dont l’environnement présente une géométrie non-euclidienne. Le principe est de permettre au joueur d’évoluer dans un environnement relativiste et d’en constater les effets à notre échelle ; pour cela, l’équipe chargée du projet a astucieusement recours à une astuce : réduire la vitesse de la lumière. Le stade de développement actuel du jeu, encore en version beta mais gratuit, permet déjà d’observer des altérations géométriques et lumineuses.

A Slower Speed of Light Official Trailer — MIT Game Lab

Lire cette vidéo sur YouTube.

 

Je présente ce projet ici, car ma démarche rejoint celle des auteurs de ce jeu. J’irais même jusqu’à dire que, dans le principe, il n’a qu’une différence : là où ils diminuent la vitesse de la lumière, j’envisage plutôt d’être « gros » relativement à l’univers, ce qui implique une vitesse relative importante, donc proche de celle de la lumière. Évidemment, dans la mise en œuvre, nos projets ne sont pas du tout comparables ! Mais j’ai espoir, du coup, de voir naître le projet d’une autre main !

Le jeu est téléchargeable gratuitement à l’adresse http://gamelab.mit.edu/games/a-slower-speed-of-light/

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Calcul différentiel de la déviation d’un mobile sur un disque de Poincaré.

Suite au dernier projet Scratch permettant de dévier un mobile sur un disque de Poincaré par l’influence de deux mobiles situés sur les flans du premier, j’ai réitéré l’expérience avec un mobile de taille différente, et donc un écartement différent des mobiles situés aux extrémités (http://scratch.mit.edu/projects/49909842/). Comme on pouvait le supposer intuitivement (ou comme certains le savent sans doute déjà!!), cet écartement n’a aucune influence sur la déviation. J’ai donc cherché à formaliser cette déviation par un calcul différentiel.
Comme le but de ce calcul était de pouvoir utiliser le résultat dans Scratch (et que ça fait longtemps que je n’ai pas fait de math sérieusement!), les conventions habituelles seront peut-être parfois perturbées : je vous prie de m’en pardonner.

J’obtiens et j’utilise cette formule : \displaystyle\frac{\mathrm{d}\theta_V}{\mathrm{d}t} = 2|\vec V|_{\mathit{eucl}}|z|\sin{(\theta - \theta_V)}

z est l’affixe de la position du solide, \displaystyle\theta sont argument et \theta_V l’angle du vecteur vitesse \displaystyle\vec V du solide.
La mise en œuvre de cette équation différentielle est visualisable sur le projet Scratch suivant, sans avoir besoin de la résoudre : http://scratch.mit.edu/projects/49907478/
Je devrais pouvoir la mettre en œuvre dans Alice3 et Garry’s Mod sans avoir besoin de la résoudre. Cependant, j’essaierai tout de même de la résoudre (sauf si un étudiant en mathématiques souhaite le faire pour moi à titre d’entraînement ^^).

Voici donc une démonstration de la formule utilisée (merci de me prévenir si vous voyez une erreur!!!) : Continuer la lecture

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Disque de Poincaré dans Garry’s Mod

Modification du mode de jeu « Hyperbolic World » de Garry’s Mod : il prend à présent en charge le changement de taille, de vitesse et d’autres détails.

Le gamemode est téléchargeable à l’adresse suivante et doit s’installer dans le dossier « gamemodes » de Garry’s Mod :

https://github.com/julienbusset/hyperbolicworld/tree/v2

Petite précision oubliée dans l’article précédent : la géométrie en question est celle d’un disque de Poincaré.

Il reste encore énormément de choses à faire pour que le mode soit vraiment jouable !! Si des volontaires souhaitent contribuer à son élaboration, ils sont les bienvenus…

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Gamemode à géométrie hyperbolique sur Garry’s Mod

Premier essai sur Garry’s Mod ! Vous trouverez sur mon dépôt GitHub le projet de mode pour Garry’s Mod :

https://github.com/julienbusset/hyperbolicworld/

Il nécessite d’avoir le jeu Garry’s Mod sur son ordinateur.

Pour l’instant, le mode fonctionne avec la map flatgrass de la sandbox, et il ne simule que la réduction de vitesse en fonction de la distance au centre.

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Chaîne Twitch

J’active parfois une chaîne Twitch pour montrer l’avancée des travaux en temps réel. Evidemment, pour l’instant, il ne s’y passe pas grand chose… Mais je donne tout de même le lien : http://www.twitch.tv/beujsensei

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Vol « rectiligne » sur un disque de Poincaré

Le programme Scratch suivant simule le vol « rectiligne » d’un mobile sur un disque de Poincaré. Le calcul de la trajectoire se fait mécaniquement par la différence de vitesse entre les deux extrémités de « l’avion ». Chaque extrémité calcul sa propre vitesse en fonction de sa position sur le disque, et selon le rapport {1-|z|^2} . C’est un peu du bricolage artisanal, mais ça donne un résultat qui est proche de ce qu’on obtient par le calcul direct de la trajectoire d’une « droite » sur le disque de Poincaré. On peut néanmoins constater à l’œil nu un décalage ; je pense qu’il est dû en particulier à la discrétisation du calcul avec un échantillonnage très faible (seules les deux extrémités sont prises en compte) et à une sorte d’escroquerie sur la vitesse des extrémités : seules la composante dans l’axe de l’aéronef est calculée en fonction de la position sur le disque, l’autre composante étant « bidouillée » par un rapprochement sauvage vers l’extrémité de l’aile.

Il est consultable à l’adresse suivante : http://scratch.mit.edu/projects/48707012/

La position de départ sur le disque est choisie par l’utilisateur : il faut entrer les coordonnées x et y de départ lorsqu’elles sont demandées. Le programme ne calcule pas si la position de départ est bien dans le disque : c’est à l’utilisateur de s’en assurer (!).

Deux petites captures d’écran :

navigation rectiligne 1 navigation rectiligne 2

La prochaine étape est la simulation d’un véhicule pilotable en contrôlant sa vitesse et sa direction avec les flèches du clavier, et dont la trajectoire sera calculée de cette façon.

Bonne navigation !

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